Question

如图，直线y₁=k₁x-1与x轴正半轴交于点A（2，0），以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交直线y₁于点D，延长AB交直线y₂=3x于F，过点F作EF平行BD交直线OB于E，连结DE．
（1）求点D和点F的坐标；
（2）试判断BFED是什么特殊四边形并证明？
（3）若y₁-y₂＞0，求x的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）把点A代入直线y₁=k₁x-1求得该函数解析式；因为四边形OABC是正方形，所以OA=OB=2，结合已知条件“延长CB交直线y₁于点D”知点B、D的纵坐标相等，所以把点B的纵坐标代入该函数解析式即可求得相应的点D的横坐标；依题意知点A、F的横坐标相同，则把x=2代入直线y₂=3x即可求得点F的坐标；
（2）四边形BFED是正方形．易求直线OB的解析式为y=x．则E（6，6），又B（2，2），D（6，2），故BF=EF=ED=BD=4，所以由“由两组对边相等的四边形为菱形”判定四边形BFED是菱形；再根据“又一内角为直角的菱形是正方形”推知四边形BFED是正方形；
（3）根据题意列出关于x的不等式，通过解不等式来求x的取值范围．

解答：解：（1）∵直线y₁=k₁x-1与x轴正半轴交于点A（2，0），
∴0=2k₁-1，
解得，k₁=

1

2

，
∴直线y₁的解析式为：y₁=

1

2

x-1．
∵在正方形OABC中，CB∥OA，AB⊥OA，OA=AB=CB=2，
∴B（2，2）．
把y=2代入y₁=

1

2

x-1，得
2=

1

2

x-1，
解得x=6，
∴D（6，2）．
把x=2代入y₂=3x，得
y₂=6，
∴F（2，6）；

（2）四边形BFED是正方形．理由如下：
易求直线OB的解析式为y=x．
∵F（2，6），EF平行BD交直线OB于E，
∴把y=6代入直线y=x 得x=6，
∴E（6，6）
又∵B（2，2），D（6，2），
∴BF=EF=ED=BD=4，
∴四边形BFED是菱形．
又BF⊥BD，
∴四边形BFED是正方形；

（3）依题意，得

1

2

x-1-3x＞0，
整理 得-5x-2＞0，
解得，x＜-

2

5

．

点评：本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定以及一次函数的综合应用．此题要以点A的坐标是（2，0）为突破口，求与之相关的点的坐标，再利用正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征求得其它点的坐标，从而证得四边形BFED是正方形．