Question

下图，已知抛物线y＝x²＋bx＋c的图像与x轴的一个交点为B(5，0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5)．

(1)求直线BC与抛物线的解析式；

(2)若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

(3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图像上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S₁，△ABN的面积为S₂，且S₁＝6S₂，求点P的坐标．

Answer 1

答案：

∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的一个交点为B(5，0)，与y轴交于点C(0，5)，

∴将B(5，0)，C(0，5)代入y＝x2＋bx＋c，

解得：b＝－6，c＝5.

∴二次函数解析式为：y＝x2－6x＋5.

设直线BC的解析式为：y＝kx＋5.

将B(5，0)代入直线BC解析式y＝kx＋5.

解得：k＝－1.

∴直线BC的解析式为：y＝－x＋5.

如图①.设M(x，y)，则

NM＝－x＋5－(x2－6x＋5).

NM＝－x2＋5x.

NM＝－(x－52)2＋254.

∴NM的最大值为254.

如图②由第2问易得S2＝5，∴S1＝6S2＝30.

BC＝52，BC所在直线的解析式为：y＝－x＋5，

∠CBO＝45°，

∵S2＝30.∴平行四边形CBPQ中BC边上的高为3052＝32.

过点C作CD⊥PQ与PQ所在直线相交于点D，

PD交y轴于点E，CD＝32，∴CE＝6，

∵平行四边形CBPQ的边PQ所在直线，在直线BC的两侧可能各有一条，但点P在x轴下方，

∴PQ的解析式为y＝－x－1.

∵点P同时在抛物线和直线PQ上，

∴x2－6x＋5＝－x－1.解得x1＝2，x2＝3，

∴P1(2，－3)，P2(3，－4).