Question

已知抛物线y＝－x²－2kx＋3k²(k＞0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，以AB为直径的⊙E交y轴于点D、F(如下图)，且DF＝4，G是劣弧上的动点(不与点A、D重合)，直线CG交x轴于点P．

求抛物线的解析式；

当直线CG是⊙E的切线时，求tan∠PCO的值．

当直线CG是⊙E的割线时，作GM⊥AB，垂足为H，交PF于点M，交⊙E于另一点N，设MN＝t，GM＝u，求u关于t的函数关系式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解方程－x2－2kx＋3k2＝0． 　　得x1＝－3k，x2＝k 　　由题意知OA＝|－3k|＝3k，OB＝|k|＝k． 　　∵直径AB⊥DF．∴OD＝OF＝DF＝2． 　　∵， 　　∴3k·k＝2×2，得k＝±(负的舍去)． 　　则所求的抛物线的解析式为． 　　(2)由(1)可知AO＝，AB＝，EG＝，OC＝3k2＝4． 　　连结EG， 　　∵CG切⊙E于G，∴∠PGE＝∠POC＝90°， 　　∴Rt△PGE∽Rt△POC.∴．(﹡) 　　由切割线定理得． 　　PO＝PA＋AO＝PA＋． 　　代入(﹡)式整理得PA2＋PA－6＝0． 　　解得PA＝3－(∵PA＞0)． 　　∴tan∠PCO＝ 　　∴GN∥CF，∴△PGH∽△PCO， 　　∴． 　　同理．∴． 　　∵CO＝4，OF＝2，∴HM＝GH＝HN＝MN， 　　∴GM＝3MN，即u＝3t(0＜t≤)