题目内容
如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-1，
），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
（4）若反比例函数y=
（x＞0）的图象有一动点Q，点Q与抛物线上的点A关于点M（1，t）成中心对称，当以线段AB为一直角边的△QAB为直角三角形时，请直接写出相应的反比例函数的解析式．
【答案】分析：（1）由点A的坐标可求得OA的长，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°后，恰好落在x轴上，由此得出B点的坐标．
（2）利用待定系数法求抛物线的解析式即可．
（3）过P作y轴的平行线交线段AB于D，首先求出直线AB的解析式，结合直线和抛物线的解析式先表达出P、D点的坐标，进而能得出线段PD的长，以PD为底，A、B横坐标差的绝对值为高即可求出△ABP的面积函数关系式，根据函数的性质进行判断即可．
（4）欲求反比例函数的解析式，必须先求出点Q的坐标；点Q、A关于M对称，那么点Q的横坐标必为3；已知线段AB为Rt△QAB的直角边，那么需要分两种情况讨论：
①BQ为直角边，即BQ⊥AB，那么这两天直线的斜率乘积为-1，即：kAB×kBQ=-1，结合点B的坐标即可求出直线BQ的解析式，进而能求出点Q的坐标以及反比例函数的解析式；
②AQ为直角边，解题方法和①完全相同．
解答：解：（1）∵A（-1，
），
∴OA=
=2；
∵OA绕O顺时针旋转120°得OB，
∴OB=OA=2，且B在x轴正半轴上，
∴B（2，0）．
（2）由于抛物线过原点，可设其解析式为y=ax2+bx，代入A（-1，
）、B（2，0），得：
，解得
∴抛物线的解析式为y=
x2-
．
（3）设P（x，
x2-
）（0＜x＜2），过P作PD∥y轴交线段AB于D；
设直线AB：y=kx+b（k≠0），将A（-1，
）、B（2，0）代入，得：
，解得
∴直线AB：y=-
x+
，则点D的坐标（x，-
x+
）；
∴PD=（-
x+
）-（
x2-
）=-
x2+
x+
，
∴S△APB=
×（-
x2+
x+
）×3=-
x2+
x+
；
S是关于x的二次函数，且开口向下，对称轴x=
在0＜x＜2的范围内，因此当x=
时，△PAB的面积最大，且最大值为
；
此时P点的坐标（
，-
）．
（4）点Q与抛物线上的点A（-1，
）关于点M（1，t）成中心对称，所以点Q的横坐标必为3；
①BQ为Rt△QAB的直角边时，BQ⊥AB，即：kAB×kBQ=-1，解得：kBQ=
；
可设直线BQ：y=
x+b，代入B（2，0），得：b=-2
，
∴直线BQ：y=
x-2
，当x=3时，y=
，即 Q（3，
）；
将点Q的坐标代入反比例函数的解析式中，得：k1=xy=3
；
②AQ为Rt△AOB的直角边时，AQ⊥AB，同①可求得：k2=15
；
综上，符合条件的反比例函数解析式为：y=
或y=
．
点评：此题主要考查了函数解析式的确定、直角三角形的性质以及图形面积的求法等重要知识；最后一题中，互相垂直的两条直线斜率的乘积为-1，这个结论需要记住；这个小题也可以分别过A、Q作坐标轴的垂线，通过构建相似三角形来求点Q的坐标，不过这样的计算过程会稍微复杂一些．
（2）利用待定系数法求抛物线的解析式即可．
（3）过P作y轴的平行线交线段AB于D，首先求出直线AB的解析式，结合直线和抛物线的解析式先表达出P、D点的坐标，进而能得出线段PD的长，以PD为底，A、B横坐标差的绝对值为高即可求出△ABP的面积函数关系式，根据函数的性质进行判断即可．
（4）欲求反比例函数的解析式，必须先求出点Q的坐标；点Q、A关于M对称，那么点Q的横坐标必为3；已知线段AB为Rt△QAB的直角边，那么需要分两种情况讨论：
①BQ为直角边，即BQ⊥AB，那么这两天直线的斜率乘积为-1，即：kAB×kBQ=-1，结合点B的坐标即可求出直线BQ的解析式，进而能求出点Q的坐标以及反比例函数的解析式；
②AQ为直角边，解题方法和①完全相同．
解答：解：（1）∵A（-1，
），∴OA=
=2；∵OA绕O顺时针旋转120°得OB，
∴OB=OA=2，且B在x轴正半轴上，
∴B（2，0）．
（2）由于抛物线过原点，可设其解析式为y=ax2+bx，代入A（-1，
）、B（2，0），得：，解得∴抛物线的解析式为y=
x2-．（3）设P（x，x2-）（0＜x＜2），过P作PD∥y轴交线段AB于D；设直线AB：y=kx+b（k≠0），将A（-1，
）、B（2，0）代入，得：，解得∴直线AB：y=-
x+，则点D的坐标（x，-x+）；∴PD=（-
x+）-（x2-）=-x2+x+，∴S△APB=
×（-x2+x+）×3=-x2+x+；S是关于x的二次函数，且开口向下，对称轴x=
在0＜x＜2的范围内，因此当x=时，△PAB的面积最大，且最大值为；此时P点的坐标（
，-）．（4）点Q与抛物线上的点A（-1，
）关于点M（1，t）成中心对称，所以点Q的横坐标必为3；①BQ为Rt△QAB的直角边时，BQ⊥AB，即：kAB×kBQ=-1，解得：kBQ=
；可设直线BQ：y=
x+b，代入B（2，0），得：b=-2，∴直线BQ：y=
x-2，当x=3时，y=，即 Q（3，）；将点Q的坐标代入反比例函数的解析式中，得：k1=xy=3
；②AQ为Rt△AOB的直角边时，AQ⊥AB，同①可求得：k2=15
；综上，符合条件的反比例函数解析式为：y=
或y=．点评：此题主要考查了函数解析式的确定、直角三角形的性质以及图形面积的求法等重要知识；最后一题中，互相垂直的两条直线斜率的乘积为-1，这个结论需要记住；这个小题也可以分别过A、Q作坐标轴的垂线，通过构建相似三角形来求点Q的坐标，不过这样的计算过程会稍微复杂一些．
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