Question

14．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 作BM⊥FG于M，交EC于N，如图，根据菱形的性质得BC=CD=3，CG=GF=4，AB∥CE∥GF，∠ABC=∠BCD=∠CGF=120°，则∠BCN=∠BGM=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BCN中可计算出BN=$\sqrt{3}$CN=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，在Rt△BMG中可计算出BM=$\sqrt{3}$GM=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，则MN=BM-BN=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，然后根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S_阴影部分=S_△BCD+S_梯形CDFG-S_△BGF进行计算即可．另一种解法为把阴影部分的面积转化为△BCD的面积进行计算．

解答 解：作BM⊥FG于M，交EC于N，如图，
∵四边形ABCD和四边形CGFE为菱形，
∴BC=CD=3，CG=GF=4，AB∥CE∥GF，
∴∠ABC=∠BCD=∠CGF=120°，
∴∠BCN=∠BGM=60°，
∵BM⊥GF，
∴BN⊥EC，
在Rt△BCN中，∵∠NBC=30°，
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
BN=$\sqrt{3}$CN=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△BMG中，GM=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{7}{2}$，
BM=$\sqrt{3}$GM=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
∴MN=BM-BN=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影部分=S_△BCD+S_梯形CDFG-S_△BGF
=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×（3+4）×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{7\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
另一种解法：连接CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CGFE为菱形，∠A=120°，
∴∠DBC=∠FCG=30°，
∴BD∥CF，
∴S_△FDB=S_△CDB=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{3}}{4}$•3²=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．利用面积的和差计算不规则图形的面积是解决此题的关键，记住含30度的直角三角形三边的关系．