题目内容

P、Q、R、S四个小球分别从正方形ABCD的四个定点A、B、C、D点出发，以同样的速度分别沿AB、BC、CD、DA的方向滚动，其终点分别是B、C、D、A。

 （1）不管滚动多长时间，求证：四边形PQRS为正方形；

 （2）连结对角线AC、BD、PR、SQ，你发现四条对角线有何关系？

 （3）根据此图，若有四个全等的直角三角形，你能否拼成一个正方形？若这个三角形直角边为a、b，斜边问c，你能否根据面积推导出勾股定理？

 

【答案】

（1）见解析（2）四条对角线相交于一点，且互相平分（3）能拼成一个正方形，见解析

【解析】（1）四个动点，P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样速度向B、C、D、A移动可得AP=BQ=CF=DS，PB=QC=FD=SA．

可得△APS≌△BQP≌△CFQ≌△DFS，

得PQ=QF=FS=SP．

∠SPA=∠PQB．

又∠PQB+∠QPB=90°，

所以∠FPA+∠QPB=90°，∠FPQ=90°．

所以PQEF为正方形．（3分）

（2）四条对角线相交于一点，且互相平分．（1分）

（3）能拼成一个正方形．用面积的方法来证明

直角边分别是a，b．斜边是c，

整个大正方形的面积应该是（a+b）2

而一个一个进行分解计算，4个小三角形的面积是4×ab=2ab．

中间的正方形面积是c2

则（a+b）2=2ab+c2，分解开就可以得到a2+b2=c2．（4分）

（1）可先证明△APF≌△BQP≌△CEQ≌△DFE，得PQ=QE=EF=FP；再证∠FPQ=90°；

（2）用面积的方法来证明，拼出的大正方形的面积，既可以用正方形面积公式求得，也可以用中间四个小三角形和小正方形的面积和来表示，列出相等关系，即可求证．

 

练习册系列答案
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精英家教网如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．
（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）
（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．
如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ADC，由这个结论解答下列问题：
（1）图2中，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为
 
；图3中，E，F分别为平行四边形ABCD的边AD，BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为
 
；
（2）图4中，E，F分别为四边形ABCD的边AD，BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为
 
；
（3）解决问题：如图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD，AB，BC，CD的中点，并且图中四个小三角形的面积的和为1，即S1+S2+S3+S4=1，求S阴的值．（写出过程）
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22、如图，为由四个小正方形拼接成L形图，按下列要求画出图形．
（1）请用两种方法分别在L型图案中添画一个小正方形，使它成为轴对称图形；
（2）请你在L型图案中添画一个小正方形，使它成为中心对称图形；
（3）请你在L型图案中移动一个小正方形，使它成为既是中心对称图形，又是轴对称图形．
如图，在一块边长为20米的正方形空地上种植草皮，草皮种植在大正方形的四个角上的相同的四个小正方形和中间与四个小正方形共顶点的一个小正方形上，当四个相同小正方形的边长为多少米时，草皮的面积为208平方米？
（2012•六合区一模）观察猜想
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（
x+p
x+p
）（
x+q
x+q
）．
说理验证
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=
x（x+p）+q（x+p）
x（x+p）+q（x+p）
=（
x+p
x+p
）（
x+q
x+q
）．
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用
例题  把x2+3x+2分解因式．
解：x2+3x+2=x2+（2+1）x+2×1=（x+2）（x+1）．
请利用上述方法将下列多项式分解因式：
（1）x2-7x+12；             （2）（y2+y）2+7（y2+y）-18．

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