题目内容
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为6的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上，BC是正三角形OAB的高．点P、Q同时从点O出发，点P以1 单位/s的速度沿O→B→A向点A匀速运动，点Q以1 单位/s的速度沿x轴的正半轴方向匀速运动．当P点到达点A时Q也随之停止运动．设运动时间为x秒（0＜x≤12）．（1）求点B的坐标；
（2）当点P、Q运动到直线PQ与边OB垂直时，求点P运动的时间x的值；
（3）若△OPQ与△OBC重叠部分的面积为S（平方单位），求S与x的函数关系式；
（4）若6＜x＜12时，求点P、Q距离的最小值；并求出P、Q的距离最小时点P的坐标．
【答案】分析：（1）根据△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，得出OC=CA=
OA=
=3，然后求出BC=tan60°×3=3
，即可得出点B的坐标；
（2）当直线PQ⊥OB时．∠QPB=90°，因为∠ABO=60°所以∠1=30°，∠2=30°，因为∠AOP=60°所以∠Q=90°-60°=30°，所以∠α=∠Q，AP=AQ，列方程得12-x=x-6，解出方程即可；
（3）当0＜x＜3，可得出
，当3≤x＜6时，根据
可得出S与x的函数关系式，当6≤x＜12时，根据
，作P3H⊥OA，根据△OCH∽△OHP3得出
，把x代入，再进行整理即可得出S与x的函数关系式；
（4）根据PQ2=P3H2+HQ23得出PQ2=-x2-18x+108，因为6＜x＜12，所以当x=-9时，求出PQ2有最小值
，然后求出PQ的最小值=
，即可得出P的坐标．
解答：解：（1）∵△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，
∴OC=CA=
OA=
=3，
∴BC=tan60°×3=3
，
∴点B的坐标是
；
（2）当直线PQ⊥OB时．∠QPB=90°，
∵∠ABO=60°∴∠1=30°∴∠2=30°，
∵∠AOP=60°∴∠Q=90°-60°=30°，
∴∠α=∠Q，AP=AQ，
∴12-x=x-6，
∴2x=18，
x=9；
（3）当0＜x＜3，
，
当3≤x＜6时，
=
，
6≤x＜12时，
．
作P3H⊥OA，
∵△OCF∽△OHP3，
∴
，
∴
，
∴S与x的函数关系式是：
，
（4）PQ2=P3H2+HQ23=
，
∵6＜x＜12当
时，PQ2有最小值=
，
∴PQ最小=
∴P的坐标是
．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的性质列出方程，要注意的是（3）中，要根据x的取值范围分类求解．
OA=
=3，然后求出BC=tan60°×3=3
，即可得出点B的坐标；（2）当直线PQ⊥OB时．∠QPB=90°，因为∠ABO=60°所以∠1=30°，∠2=30°，因为∠AOP=60°所以∠Q=90°-60°=30°，所以∠α=∠Q，AP=AQ，列方程得12-x=x-6，解出方程即可；
（3）当0＜x＜3，可得出
，当3≤x＜6时，根据
可得出S与x的函数关系式，当6≤x＜12时，根据
，作P3H⊥OA，根据△OCH∽△OHP3得出
，把x代入，再进行整理即可得出S与x的函数关系式；（4）根据PQ2=P3H2+HQ23得出PQ2=-x2-18x+108，因为6＜x＜12，所以当x=-9时，求出PQ2有最小值
，然后求出PQ的最小值=
，即可得出P的坐标．解答：解：（1）∵△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，
∴OC=CA=
OA=
=3，∴BC=tan60°×3=3
，∴点B的坐标是
；（2）当直线PQ⊥OB时．∠QPB=90°，
∵∠ABO=60°∴∠1=30°∴∠2=30°，
∵∠AOP=60°∴∠Q=90°-60°=30°，
∴∠α=∠Q，AP=AQ，
∴12-x=x-6，
∴2x=18，
x=9；
（3）当0＜x＜3，
，当3≤x＜6时，
=
，6≤x＜12时，
．作P3H⊥OA，
∵△OCF∽△OHP3，
∴
，∴
，∴S与x的函数关系式是：
，（4）PQ2=P3H2+HQ23=
，∵6＜x＜12当
时，PQ2有最小值=
，∴PQ最小=
∴P的坐标是
．点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的性质列出方程，要注意的是（3）中，要根据x的取值范围分类求解．
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