题目内容

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（-4，0）处．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P从点A出发以每秒4 $数学公式$ 个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵C（0，8），D（-4，0），
∴OC=8，OD=4，
设OB=a，则BC=8-a，
由折叠的性质可得：BD=BC=8-a，
在Rt△BOD中，∠BOD=90°，DB²=OB²+OD²，
则（8-a）²=a²+4²，
解得：a=3，
则OB=3，
则B（0，3），
tan∠ODB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由折叠的性质得：∠ADB=∠ACB，
则tan∠ACB=tan∠ODB= $\text{[math]}$ ，
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，tan∠ACB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则OA=6，
则A（6，0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故直线AB的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+3；

（2）在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，
则AB= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，tan∠BAO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，cos∠BAO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
在Rt△PQA中，∠APQ=90°，AP=4 $\text{[math]}$ t，
则AQ= $\text{[math]}$ =10t，
∵PR∥AC，
∴∠APR=∠CAB，
由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB，
∴∠BAO=∠APR，
∴PR=AR，
∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°，
∴∠PQA=∠QPR，
∴RP=RQ，
∴RQ=AR，
∴QR= $\text{[math]}$ AQ=5t，
即d=5t；

（3）过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，
∵EF=QR，
∴NS=NT，
∴四边形NTOS是正方形，
则TQ=TR= $\text{[math]}$ QR= $\text{[math]}$ t，
∴NT= $\text{[math]}$ AT= $\text{[math]}$ （AQ-TQ）= $\text{[math]}$ （10t- $\text{[math]}$ t）= $\text{[math]}$ t，
分两种情况，
若点N在第二象限，则设N（n，-n），

点N在直线y=- $\text{[math]}$ x+3上，
则-n=- $\text{[math]}$ n+3，
解得：n=-6，
故N（-6，6），NT=6，
即 $\text{[math]}$ t=6，
解得：t= $\text{[math]}$ ；
若点N在第一象限，设N（N，N），
可得：n=- $\text{[math]}$ n+3，
解得：n=2，
故N（2，2），NT=2，
即 $\text{[math]}$ t=2，
解得：t= $\text{[math]}$ ．
故当t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ 时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）．
分析：（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8-a）²=a²+4²，解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR∥AC与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；
（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．