Question

如图，已知抛物线y=

1

4

x²+bx+c经过点B（-4，0）与点C（8，0），且交y轴于点A．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移m个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为P，联接BP，直线BP将△ABC分割成面积相等的两个三角形，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，进而利用配方法求出顶点坐标；
（2）利用三角形中线平分面积进而得出PP过AC中点，进而得出BP解析式，求出P点坐标即可得出答案．

解答：解：（1）将点B（-4，0）与点C（8，0），代入解析式得：

0= 1 4 ×(-4)2-4b+c 0= 1 4 ×82+8b+c

，
解得：

b=-1 c=-8

，
∴该抛物线的表达式为：y=

1

4

x²-x-8，
y=

1

4

x²-x-8=

1

4

（x²-4x）-8=

1

4

（x-2）²-9，
∴顶点坐标为：（2，-9）；

（2）∵y=

1

4

x²-x-8交y轴于点A，
∴A（0，-8），
根据题意得出：平移后解析式为：y=

1

4

（x-2-m）²-5，
∵直线BP将△ABC分割成面积相等的两个三角形，
∴P为AC中点，
∵A（0，-8），C（8，0），
∴AC的中点坐标为：（4，-4），
∴设BP的解析式为：y=ax+h，
 

4a+h=-4 -4a+h=0

，
解得：

a=- 1 2 h=-2

，
∴BP的解析式为：y=-

1

2

x-2，
即直线过BP中点P（2+m，-5），
-5=-

1

2

（2+m）-2
解得：m=4．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求二次和一次函数解析式，利用三角形中线平分面积得出是解题关键．