Question

已知⊙O的直径AB=10，弦BC=6，点D在⊙O上（与点C在AB两侧），过D作⊙O的切线PD．
（1）如图①，PD与AB的延长线交于点P，连接PC，若PC与⊙O相切，求弦AD的长；
（2）如图②，若PD∥AB，①求证：CD平分∠ACB；②求弦AD的长．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）先求得∠ACB=90°，根据勾股定理求得AC，根据切线的性质求得PD=PC，∠APC=∠APD，然后根据SAS求得△APC≌△APD，即可求得AD=AC=8；
（2）连接OD、BD，根据切线的性质得出OD⊥PD，进而求得OD⊥AB，根据垂直平分线的性质求得AD=BD，从而求得CD平分∠ACB．根据勾股定理即可求得弦AD的长．

解答：（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8，
∵PD、PC是⊙O的切线，
∴PD=PC，∠APC=∠APD，
在△APC和△APD中，

PD=PC ∠APC=∠APD PA=PA

，
∴△APC≌△APD（SAS），
∴AD=AC=8．
（2）证明：①连接OD、BD，
∵PD是⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∵PD∥AB，
∴OD⊥AB，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，∠ACD=∠BCD，
∴CD平分∠ACB．

②∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在RT△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∴2AD²=10²，
∴AD=5

2

．

点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角的性质，勾股定理的应用，也考查了切线长定理和等腰三角形的性质．