Question

14．若x²-3x+1=0，求$\frac{{x}^{3}+\frac{1}{{x}^{3}}+7}{{x}^{4}+\frac{1}{{x}^{4}}+3}$的值．

Answer 1

分析 根据题目中的式子变形可以求得x+$\frac{1}{x}$的值，然后将所求式子变形即可解答本题．

解答 解：∵x²-3x+1=0，
∴x-3+$\frac{1}{x}=0$，
∴x+$\frac{1}{x}$=3，
∴$\frac{{x}^{3}+\frac{1}{{x}^{3}}+7}{{x}^{4}+\frac{1}{{x}^{4}}+3}$
=$\frac{（x+\frac{1}{x}）（{x}^{2}-1+\frac{1}{{x}^{2}}）+7}{（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）^{2}+1}$
=$\frac{（x+\frac{1}{x}）[（x+\frac{1}{x}）^{2}-3]+7}{[（x+\frac{1}{x}）^{2}-2]^{2}+1}$
=$\frac{3×（{3}^{2}-3）+7}{（{3}^{2}-2）^{2}+1}$
=$\frac{25}{50}$
=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．