Question

4．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S_△BEF：S_△EFC=2：3．
（1）求EF的长；
（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据S_△BEF：S_△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；
（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵AC∥BD，
∴$\frac{CE}{DE}=\frac{AC}{DB}$
∵AC=6，BD=4，
∴$\frac{CE}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
∵△BEF和△CEF同高，且S_△BEF：S_△CEF=2：3，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{CE}{DE}=\frac{CF}{BF}$．
∴EF∥BD，
∴$\frac{EF}{BD}=\frac{CF}{BC}$，
∴$\frac{EF}{4}=\frac{3}{5}$，
∴$EF=\frac{12}{5}$

（2）∵AC∥BD，EF∥BD，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△ABC，
∴$\frac{{{S_{△BEF}}}}{{{S_{△ABC}}}}={（{\frac{BF}{BC}}）^2}$．
∵$\frac{BF}{CF}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{2}{5}$．
∵S_△BEF=4，
∴$\frac{4}{{{S_{△ABC}}}}={（{\frac{2}{5}}）^2}$，
∴S_△ABC=25．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．