Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，且AO＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM

（1）求∠OMP的度数；

（2）随着点P在半圆上位置的改变，∠CMO的大小是否改变，说明理由；

（3）当点P在半圆上从点B运动到点A时，直接写出内心M所经过的路径长．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）∠CMO的大小不改变，理由见解析；（3）.

【解析】

（1）由内心的定义可知∠MOP＝∠MOC＝∠EOP，∠MPO＝∠MPE＝∠EPO，求出∠MOP与∠MPO的和为45°，利用三角形的内角和定理即可求出∠OMP的度数；

（2）连接CM，证△COM≌△POM，即得出∠CMO＝∠OMP＝135°，可知∠CMO的大小不改变，为135°；

（3）连接AC，BC，证明△ACB，△ACO与△BCO为分别为等腰直角三角形，求出CQ＝2，∠CQO＝90°，∠CNO＝90°，由题意分析得出当点P在半径OC的左侧和右侧的半圆上时，点M的轨迹分别在以AC，BC为直径的圆弧上，根据弧长公式即可求出M所经过的路径长．

解：（1）∵OC⊥AB，

∴∠OEP＝90°，

∴∠EOP+∠EPO＝90°，

∵M为△OPE的内心，

∴∠MOP＝∠MOC＝EOP，∠MPO＝∠MPE＝∠EPO，

∴∠MOP+∠MPO＝（∠EOP+∠EPO）＝45°，

∴∠OMP＝180°﹣（∠MOP+∠MPO）＝135°；

（2）∠CMO的大小不改变，理由如下：

如图2，连接CM，

在△COM和△POM中，

，

∴△COM≌△POM（SAS），

∴∠CMO＝∠OMP＝135°，

∴∠CMO的大小不改变，为135°；

（3）如图3，连接AC，BC，

∵AB为直径，CO⊥AB，

∴AC＝BC，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∴△ACO与△BCO为等腰直角三角形，

∴AC＝，

∴CQ＝

分别取AC，BC的中点Q，N，连接OQ，ON，

则∠CQO＝90°，∠CNO＝90°，

当点P在半径OC的左侧和右侧的半圆上时，点M的轨迹分别在以AC，BC为直径的圆弧上，所对圆心角为90°，

∴，

∴内心M所经过的路径长为2