Question

【题目】如图，∠BCA＝90°，点O在△ABC的斜边AB上，以OB为半径的⊙O经过点B，与AC相切于点D，连结BD．

（1）求证；BD平分∠ABC；

（2）若∠ABC＝60°，OB＝2，计算△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，由AC与圆相切，得到∠ODA为直角，再由∠C为直角，利用同位角相等两直线平行，得到OD与BC平行，由两直线平行内错角相等，及等边对等角，等量代换即可得证；
（2）由∠ABC的度数，求出∠A的度数，根据OD的长，利用锐角三角函数定义求出OA的长，由OA+OB求出AB的长，再利用锐角三角函数定义求出BC与AC的长，即可确定出三角形ABC面积．

解：（1）如图，连结OD，

∵∠BCA＝90°，点O在△ABC的斜边AB上，以OB为半径的⊙O经过点B，与AC相切于点D，

∴∠ODA＝∠C＝90°，OB＝OD，

∴BC∥OD，∠OBD＝∠ODB，

∴∠CBD＝∠ODB，

∴∠OBD＝∠CBD，

∴BD平分∠ABC；

（2）∵∠ABC＝60°，OB＝2，且∠ODA＝∠C＝90°．

∴∠A＝90°﹣60°＝30°，OD＝OB＝2．

∴OA＝＝4，

∴AB＝2+4＝6，

∴BC＝6sin30°＝3，AC＝6cos30°＝3，

∴S△ABC＝＝ ．