Question

5．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上的点，且AE=CF，BE和BF交AC于点M、N．
（1）求证：AM=CN；
（2）联结BD，如果BD是AC与MN的比例中项，求证：BE⊥AD．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，对角相等可得∠BAM=∠BCN，对角线平分一组对角线可得∠BAM=∠DAM=∠DCA=∠BCA，然后利用“SAS”证明△ABE和△CBF全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可．
（2）只要证明△BOM∽△AOB，得∠OBM=∠BAO=∠DAC，再根据∠OBM+∠BMO=90°，∠AME=∠OMB，即可证明．

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠BAM=∠BCN，∠BAM=∠DAM=∠DCA=∠BCA，
在△ABE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠BCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF．

（2）如图2中，连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠BAC=∠DAC，
∵AM=CN（由（1）可知），
∴OM=ON，
∴BD=2OB，AC=2AO，MN=2OM，
∵BD²=MN•AC，
∴4•OB²=2OM•2OA，
∴OB²=OM•OA，
∴$\frac{OB}{OM}$=$\frac{OA}{OB}$，∵∠BOM=∠AOB=90°，
∴△BOM∽△AOB，
∴∠OBM=∠BAO=∠DAC，
∵∠OBM+∠BMO=90°，∠AME=∠OMB，
∴∠EAM+∠AME=90°，
∴∠AEM=90°，即BE⊥AD．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等角的余角相等的性质比例中项等知识，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键，第二个问题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．