Question

如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．
（1）若∠ABC=45°，∠ACB=55°，则∠BOC=______°
（2）若∠A=66°，则∠BOC=______°
（3）若∠BOC=120°，则∠A=______°
（4）当∠A=n°（n为已知数）时，猜测∠BOC=______．（用含n的式子表示）

Answer 1

解：（1）∵BO、CO分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO=∠ABC=22.5°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=27.5°，
则∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=130°；

（2）∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=114°，
∵BO、CO分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO=∠ABC，∠ACO=∠BCO=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=57°，
则∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=123°；

（3）∵∠BOC=120°，
∴∠OBC+∠OCB=60°，
∵BO、CO分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO=∠ABC，∠ACO=∠BCO=∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=120°，
则∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=60°；

（4）∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=（180-n）°，
∵BO、CO分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO=∠ABC，∠ACO=∠BCO=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180-n）°，
则∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（180-n）°=90°+n°．
故答案为：（1）130；（2）123；（3）60；（4）90°+n°．
分析：（1）由BO、CO分别为角平分线，得到两对角相等，根据∠ABC与∠ACB的度数求出∠OBC与∠OCB的度数，即可求出∠BOC的度数；
（2）由∠A的度数，利用内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数之和，根据BO、CO为角平分线，得到两对角相等，根据∠ABC与∠ACB的度数之和求出∠OBC与∠OCB的度数之和，即可求出∠BOC的度数；
（3）根据∠BOC的度数，利用内角和定理求出∠OBC+∠OCB，根据BO、CO分别为角平分线，得到两对角相等，确定出∠ABC与∠ACB的度数之和，即可求出∠A的度数；
（4）同（2）即可表示出∠BOC．
点评：此题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，熟练掌握内角和定理是解本题的关键．