Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．

（1）求证：△EAB∽△ABC；

（2）若AD＝2，求AB的长；

（3）在（2）的条件下，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB＝；（3）DF＝．

【解析】

（1）根据矩形的性质得到∠BAD＝∠ABC＝90°，根据余角的性质得到∠BAC＝∠AEB，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；

（3）连接BD，根据相似三角形的性质得到＝，等量代换得到＝，推出△DEF∽△BED，根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠AEB＝90°，

∵BE⊥AC，

∴∠AFB＝90°，

∴∠ABF+∠BAF＝90°，

∴∠BAC＝∠AEB，

∴△EAB∽△ABC；

（2）∵点E是AD的中点，AD＝2，

∴AE＝1，

∵△EAB∽△ABC，

∴，

∴AB＝＝＝；

（3）连接BD，

∵AC⊥BE，

∴∠AFB＝∠AFE＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAE＝90°，

又∵∠AEF＝∠BEA，

∴△AEF∽△BEA，

∴＝，

∵点E是AD的中点，

∴AE＝ED，

∴＝，

又∵∠FED＝∠DEB，

∴△DEF∽△BED，

∴，

∵AD＝2，AE＝1，AB＝，

∴BD＝，BF＝，BE＝，

∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝，

∴＝，

∴DF＝．