Question

【题目】如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，折痕的一个端点F在边AD上，另一个端点G在边BC上，顶点B的对应点为E．

（1）如图（1），当顶点B的对应点E落在边AD上时．

①连接BF，试判断四边形BGEF是怎样的特殊四边形，并说明理由；

②若BG＝10，求折痕FG的长；

（2）如图（2），当顶点B的对应点E落在长方形内部，E到AD的距离为2，且BG＝10时，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）①菱形；②4；（2）

【解析】

(1)①先证明四边形BGEF是平行四边形，再根据BG＝EG，即可证得四边形BGEF是菱形；

②如图，过F作FH⊥BC于H，先证明四边形ABHF是矩形，可得FH＝AB＝8，再由四边形BGEF是菱形，可得BF＝BG＝10，在Rt△BHF中，利用勾股定理求出BH长，继而求得HG长，在Rt△FHG中，利用勾股定理即可求得FG长；

(2)设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根据△GEN和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根据△FKH和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

(1)①四边形BGEF是菱形，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，BH∥EG，

∴四边形BGEF是平行四边形；

由折叠知，BG＝EG，

∴四边形BGEF是菱形；

②如图，过F作FH⊥BC于H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ABC＝∠BHF＝90°，

∴四边形ABHF是矩形，

∴FH＝AB＝8，

由①知，四边形BGEF是菱形，

∴BF＝BG＝10，

在Rt△BHF中，根据勾股定理得，BH＝6，

∴HG＝BG﹣BH＝4，

在Rt△FHG中，根据勾股定理得，FG＝＝4；

(2)如图，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，

∵E到AD的距离为2，

∴EM＝2，EN＝8﹣2＝6，

在Rt△ENG中，GN＝＝8，

∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，

∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，

∴∠KEM＝∠NGE，

又∵∠ENG＝∠KME＝90°，

∴△GEN∽△EKM，

∴，

即，

解得EK＝，KM＝，

∴KH＝EH﹣EK＝8﹣＝，

∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，

∴△FKH∽△EKM，

∴，

即，

解得FH＝，

∴AF＝FH＝．