Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝5，AB＝12，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AC的延长线于点E，DF⊥AB于点F．

（1）求证：CE＝BF；

（2）求DG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6.5

【解析】

（1）要证明CE＝BF，只要证明△DEC≌△DFB即可，根据题目中的条件和角平分线的性质可以得到两个三角形全等，从而可以证明结论成立；
（2）根据∠BAC＝90°，AC＝5，AB＝12，可以求得BC的长，再根据DG垂直平分BC和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求得DG的长．

（1）证明：连接DC、DB，

∵DE⊥AC，DF⊥AB，AD平分∠CAB，

∴DE＝DF，∠DEC＝∠DFB＝90°，

∵DG垂直平分BC，

∴DC＝DB，

在Rt△DEC和Rt△DFB中，

DC=DB，DE=DF，

∴Rt△DEC≌Rt△DFB（HL）

∴CE＝BF；

（2）∵∠BAC＝90°，AC＝5，AB＝12，

∴BC＝＝13，

由（1）知Rt△DEC≌Rt△DFB，

则∠EDC＝∠FDB，

∵∠BAC＝∠DEC＝∠DFA＝90°，

∴∠EDF＝90°，

∴∠EDC+∠CDF＝90°，

∴∠FDB+∠CDF＝90°，

∴∠CDB＝90°，

∵BC＝13，DG垂直平分BC，

∴DG＝6.5．