Question

（2007•上海模拟）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，P是边AB上一动点，PE⊥CD，垂足为点E，PM⊥AB，交边CD于点M，AD=1，AB=5，CD=4．
（1）求证：∠PME=∠B；
（2）设A、P两点的距离为x，EM=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）连接PD，当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时，求AP的长．

Answer 1

分析：（1）在四边形BCMP中，求出∠B+∠CMP=180°，又知∠PME+∠CMP=180°，于是证明出∠PME=∠B；
（2）作AH⊥BC于H，交PE于点F，首先证明出AF⊥PE，由于PF∥BH，列出比例等式，用x表示出PF和PE，再由△PEM∽△AHB列出y与x的关系式；
（3）分类讨论，当PM=PD和PM=DM分别根据等腰三角形的性质求出x的值，进而求出AP的值．

解答：（1）证明：证法一：在四边形BCMP中，
∵∠B+∠C+∠CMP+∠MPB=360°，∠C=∠MPB=90°
∴∠B+∠CMP=180°． 
而∠PME+∠CMP=180°，
∴∠PME=∠B． 
证法二：∵DC⊥BC，PM⊥AB，且∠PME与∠B都为锐角，
∴∠PME=∠B．
（2）解：作AH⊥BC于H，交PE于点F．
∵PE⊥CD，BC⊥CD，
∴PE∥BC．
∴AF⊥PE．
∵AH=CD=4，AB=5，
∴BH=3．
∵AD=1，
∴EF=1．
∵PF∥BH，
∴

PF

AP

=

BH

AB

，
∴PF=

3

5

x，
∴PE=

3

5

x+1．
又∵∠PME=∠B，∠PEM=∠AHB=90°，
∴△PEM∽△AHB． 
∴

EM

PE

=

BH

AH

，即

y

3 5 x+1

=

3

4

．  
∴y=

9

20

x+

3

4

．
∵PE=

3

5

x+1≤BC=4，
∴x≤

13

5

，
定义域为0≤x≤

13

5

．  
（3）解：（ⅰ）当PM=PD时，DE=EM．

4

5

x=

9

20

x+

3

4

．
解得x=

15

7

，即AP=

15

7

．  
（ⅱ）当PM=DM时，

5

4

(

3

5

x+1)=

4

5

x+

9

20

x+

3

4

． 
解得x=1，即AP=1． 
综上所述，当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时，AP=

15

7

或AP=1．

点评：本题主要考查相似形的综合题，本题涉及了线段成比例的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定的知识，此题综合性较强，难度较大．