题目内容

已知P为正△ABC内的一点，∠APB=113°，∠APC=123°，求证：以AP、BP、CP为边构成一个三角形，并确定所构成的三角形各内角的度数.

 

答案：
解析：

如图，以点C为中心，将△APC逆时针旋转60°，A点移动到B点的位置，这时CP=CP1，∠PCP1=60°，AP=BP1，∠BP1C=∠APC=123°.

由CP=CP1，∠PCP1=60°得△PP1C是等边三角形.

所以：PP1=CP，∠CPP1=∠PP1C=60°

这时△BPP1就是以BP、BP1、PP1.

即：BP、AP、PC为三边构成的三角形.

∠BP1P=∠BP1C－∠PP1C=∠APC－60°=63°

∠BPC=360°－113°－123°=124°

所以∠BPP1=∠BPC－∠P1PC=124°－60°=64°

∠PBP1=180°－63°－64°=53°

 


练习册系列答案
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精英家教网已知：如图，边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF，则△AEF的内切圆半径为
 
．
（2013•新华区一模）已知：等边△ABC的面积为S，Dn，En，Fn（n为正整数0分别是AB，BC，CA边上的点，连接DnEn，EnFn，FnDn，可得△DnEnFn．
如图1，当AD1=BE1=CF1=
1
2
AB时，我们容易得到△D1E1F1是等边三角形，且S△AD1F1=S△D1E1F1=
1
4
S．
探究论证：
（1）如图2，当AD2=BE2=CF2=
1
3
AB时，
①△D2E2F2是
等边
等边
三角形（填写“等腰”或“等边”或“不等边”）；
②S△AD2F2=
2
9
S
2
9
S
；S△D2E2F2=
1
3
S
1
3
S
（用含S的代数式表示）；
③请说明以上结论的正确性．
猜想发现：
（2）如图3，当ADn=BEn=CFn=
1
n+1
AB时，
①△DnEnFn是
等边
等边
三角形（填写“等腰”或“等边”或“不等边”）；
②S△ADnFn=
n
(n+1)2
S
n
(n+1)2
S
；S△DnEnFn=
n2-n+1
(n+1)2
S
n2-n+1
(n+1)2
S
（用含S的代数式表示）．
实际应用：
（3）学校有一块面积为49m2的等边△ABC空地，按如图4所示分割，其中AD6=BE6=CF6=
1
7
AB，计划在△D6E6F6内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉（即阴影部分）的面积为多少m2？
我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是
2
2
；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2=
4
3
4
3
；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长an=
2n
3n-1
2n
3n-1
．（n为正整数）

我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形” ．

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．

（1）如图，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是            ；

（2）如图，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2=              ；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长an=              ．（n为正整数）

 

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