Question

（1）将下列各题分解为部分分式：
①

x-5

(x+1)(2x-1)

②

6x2+16x+18

(x+1)(x+2)(x+3)

（2）已知：

x2+2

(x-1)3

≡

A

(x-1)

+

B

(x-1)2

+

C

(x-1)3

，求A、B、C的值．

Answer 1

分析：（1）仔细观察两个分式的分母都是积的形式，所以，根据分式通分的逆过程，将原分式化为几个分式的和的形式来解答；
（2）先将原分式通分，然后根据分子的特点将对应的二次项系数、一次项系数及常数项找出来组成方程组来解答．

解答：解：（1）①设

x-5

(x+1)(2x-1)

=

A

x+1

+

B

2x-1

=

(2A+B)x-(A-B)

(x+1)(2x-1)

∴

2A+B=1 B-A=5

解得，

A=2 B=-3

∴

x-5

(x+1)(2x-1)

=

2

x+1

-

3

2x-1

②设

6x2+16x+18

(x+1)(x+2)(x+3)

=

A

x+1

+

B

x+2

+

C

x+3

=

A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2)

(x+1)(x+2)(x+3)

=

(A+B+C)2+(5A+4B+3C)x+6A+3B+2C

(x+1)(x+2)(x+3)

∴

A+B+C=6 5A+4B+3C=16 6A+3B+2C=18

，
∴解得，

A=4 B=-10 C=12

∴原式=

4

x+1

-

10

x+2

+

12

x+3

（当A、B、C的值也可用x的特殊值来求）

（2）设

x2+2

(x-1)3

=

A

x-1

+

B

(x-1)2

+

C

(x-1)3

= A(x-1)2+B(x-1)+C (x-1)3 = Ax2-2Ax+Bx+A-B+C (x-1)3 = Ax2+(B-2A)x+A-B+C (x-1)3

∴

A=1 B-2A=0 A-B+C=2

，
解得，

A=1 B=2 C=3

点评：解答本题时，主要用到了通分的方法来计算分式的加减法．