Question

6．如图，点A（2，m）是双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上的点，点B是双曲线y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）上的点，直线AB交y轴于点C，且BC=2AC．
（1）求m的值及点B的坐标；
（2）将点B绕原点O顺时针旋转90°得到点B′，判断点B′是否落在双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，利用代入法求出m的值，根据平行线的性质求出点B的坐标；
（2）证明△OBE≌△B′OF，根据全等三角形的性质求出点B′的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．

解答 解：（1）作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，
∵点A（2，m）是双曲线y=$\frac{6}{x}$上的点，
∴m=$\frac{6}{2}$=3，
∴点A的坐标为（2，3），即AM=2，
∵AM⊥y轴，BN⊥y轴，
∴AM∥BN，
∴$\frac{BN}{AM}$=$\frac{BC}{CA}$，即$\frac{BN}{2}$=2，
解得，BN=4，
∵点B是双曲线y=-$\frac{6}{x}$上的点，
∴y=-$\frac{6}{-4}$=$\frac{3}{2}$，
∴点B的坐标为（-4，$\frac{3}{2}$）；
（2）作BE⊥x轴于E，B′F⊥x轴于F，
∵∠BOB′=90°，
∴∠BOE+∠B′OF=90°，又∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠B′OF=∠OBE，
在△OBE和△B′OF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B′OF=∠OBE}\\{∠B′FO=∠OEB}\\{OB′=OB}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△B′OF，
∴OF=BE=$\frac{3}{2}$，B′F=OE=4，
∴点B′的坐标为（$\frac{3}{2}$，4），
∵$\frac{3}{2}$×4=6，
∴点B′落在双曲线y=$\frac{6}{x}$上．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、旋转变换的性质，灵活运用待定系数法求函数解析式、掌握旋转变换的性质是解题的关键．