Question

如图，正方形ABCD中，边长为

2

，点P是射线DC上的动点，DM⊥AP于M，BN⊥AP于N
（1）当点P与C、D重合时，DM+BN的值分别为

 

（2）当点P不与C、D重合时，试猜想DM²+BN²的值，并对你的猜想加以证明．

Answer 1

分析：（1）首先根据题意作图，可得当点P与C重合时：DM+BN=BD，点P与D重合时，DM=0，BN=AB=

2

，继而求得当点P与C、D重合时，DM+BN的值；
（2）首先证得△ADM≌△BAN，即可证得AM=BN，则可得DM²+BN²=AB²，又由正方形ABCD中，边长为

2

，求得答案．

解答：解：（1）当点P与C重合时：DM+BN=BD，

∵正方形ABCD中，边长为

2

，
∴BD=

BC2+AB2

=2，
即DM+BN=2；
点P与D重合时，DM=0，BN=AB=

2

，
∴DM+BN=

2

；
∴当点P与C、D重合时，DM+BN的值分别为2，

2

．
故答案为：2，

2

；

（2）DM²+BN²=2．
证明：∵DM⊥AP，BN⊥AP，
∴∠DMA=∠ANB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM+∠BAN=∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠ADM=∠BAN，AD=AB，
∴△ADM≌△BAN，
∴AM=BN，
即DM²+BN²=DM²+AM²=AB²=2．

点评：此题考查了正方形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换知识的应用．