Question

15．如图，已知△ABC的内角∠A=a，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC和∠A₁CD的平分线交于点A₂，得∠A₂；…以此类推得到∠A₂₀₁₆，则∠A₂₀₁₆的度数是$\frac{α}{{2}^{2016}}$．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可求出∠A₁的度数，同理求出∠A₂，可以发现后一个角等于前一个角的$\frac{1}{2}$，根据此规律即可得解．

解答 解：∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=α，
∴∠A₁=$\frac{α}{2}$；
同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$α=$\frac{α}{{2}^{2}}$，
∴∠A_n=$\frac{α}{{2}^{n}}$，
∴∠A₂₀₁₆=$\frac{α}{{2}^{2016}}$．
故答案为：$\frac{α}{{2}^{2016}}$

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．