Question

如图，已知二次函数y=

1

2

x²+bx+c的图象经过点A（3，6），并与x轴交于点B（1，0）和点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）若D为线段AC上一点，且以D、O、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）设直线y=1为直线l，将该二次函数的图象在直线l下方的部分沿直线l翻折到直线l上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．是否存在与新图象恰有三个不同公共点且平行于AC的直线？若存在，请求出所有符合条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将已知点的坐标代入给出的二次函数，利用待定系数法确定两个待定系数的解析式即可；
（2）首先确定线段BC、AC的长，利用△DOC∽△ABC时和△ODC∽△ABC时两种情况根据相似三角形的性质求得有关线段的长，从而求得点D的坐标；
（3）首先确定直线AC的解析式y_AC=x+3，设所求直线的解析式为y=x+m．然后设直线l和设l下方的部分翻折后得到的抛物线（部分）为L，将两个解析式联立后得到有关x的方程x²+4x+2m-7=0，再由由△=16-4（2m-7）=0求得m的值即可确定符合条件的直线的解析式．

解答：解：（1）∵二次函数y=

1

2

x²+bx+c的图象经过A、B，
∴

9 2 +3b+c=6 1 2 +b+c=0

，
解得

b=1 c=- 3 2 .

∴二次函数的解析式为y=

1

2

x²+x-

3

2

．
令y=0，得x₁=1，x₂=-3．
∴点C的坐标为（-3，0）．

（2）易得BC=4，AC=6

2

．
①当△DOC∽△ABC时，有

DC

AC

=

OC

BC

，
即

DC

6 2

=

3

4

，
解得DC=

9

2

2

．
∵过D作DE⊥x轴于E，易得△CDE是等腰直角三角形．
∴CE=DE=

9

2

，OE=

3

2

，
∴D₁（

3

2

，

9

2

）．
②当△ODC∽△ABC时，有

DC

BC

=

OC

AC

，
即

DC

4

=

3

6 2

，
解得DC=

2

．
同理可得 D₂（-2，1）．
综上，点D的坐标为（

3

2

，

9

2

）或（-2，1）．

（3）由已知得y_AC=x+3，设所求直线的解析式为y=x+m．
①设直线l：y=1与抛物线的左交点为P，则过P且平行于AC的直线恰与新图象有三个不同的公共点．
令y=1，得

1

2

x²+x-

3

2

=1，
解得x₁=-1+

6

，x₂=-1-

6

．
∴P（-1-

6

，1）
把P代入y=x+m，得m=2+

6

．
∴y=x+2+

6

②设l下方的部分翻折后得到的抛物线（部分）为L，则与AC平行且与L相切的直线也符合条件．
由题意，易得L的解析式为y=-

1

2

(x+1)2+4．
联立

y=x+m y=- 1 2 (x+1)2+4

消去y整理得x²+4x+2m-7=0
∵由△=16-4（2m-7）=0，
得m=

11

2

．
∴y=x+

11

2

．
综上所述，存在两条符合条件的直线，分别是y=x+2+

6

和y=x+

11

2

．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了分类讨论、数形结合及待定系数法等数学方法及数学思想，难度较大．