Question

【题目】如图，对称轴为直线x＝1的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A（0，3），且OA＝OC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D．若△PDC与△AOB相似，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P(2，3)．

【解析】

（1）先得出点C和点B的坐标，再利用待定系数法求解可得；

（2）设点P的坐标为(m，﹣m2+2m+3)且0＜m＜3，得出DC=3﹣m，PD=﹣m2+2m+3，再分△PDC∽△AOB和△PDC∽△BOA两种情况分别求解可得．

（1）∵抛物线的图象经过点A(0，3)，

∴OA=OC=3，

∴C(3，0)．

∵抛物线的对称轴为直线x=1，且与x轴交于B、C两点，

∴点B(﹣1，0)，

设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3)，

把A(0，3)代入y=a(x+1)(x﹣3)，得：a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）如图，

∵点P为直线AC上方的抛物线上一点，

∴设点P的坐标为(m，﹣m2+2m+3)，且0＜m＜3．

∵PD⊥x轴于点D，

∴D(m，0)，

由（1）知A(0，3)，B(﹣1，0)，C(3，0)，

∴OB=1，OA=3，OC=3，

∴DC=3﹣m，PD=﹣m2+2m+3，

①若△PDC∽△AOB，则，即，

解得：m1=2，m2=3(舍去)，

当m=2时，﹣m2+2m+3=3，

∴P(2，3)；

②若△PDC∽△BOA，则，即，

解得：m3=3(舍)，m4(舍)；

综上可知：P(2，3)．