题目内容
如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角形CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现奖三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置。
（1）求C′点的坐标；
（2）求经过三点O、A、C′的抛物线的解析式；
（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；
（4）抛物线上是否存在一点M，使得S△AMF：S△OAB=16：3，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）求C′点的坐标；
（2）求经过三点O、A、C′的抛物线的解析式；
（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；
（4）抛物线上是否存在一点M，使得S△AMF：S△OAB=16：3，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
图1 图2 图3
解：（1）C′（3，
）；
（2）∵抛物线过原点O（0，0），
设抛物线解析式为y=ax2+bx
把A（2，0），C′（3，
）代入，得
解得a=
，b=-
∴抛物线解析式为y=
x2-
x；
（3）∵∠ABF=90°，∠BAF=60°，
∴∠AFB=30°
又AB=2
∴AF=4
∴OF=2
∴F（-2，0）
设直线BF的解析式为y=kx+b
把B（1，
），F（-2，0）带入，
得
解得k=
，b=
∴直线BF的解析式为y=
x+
；
（4）①当M在x轴上方时，存在M（x，
x2-
x）
S△AMF：S△OAB=[
×4×（
x2-
x）]：[
×2×4]=16：3
得x2-2x-8=0，
解得x1=4，x2=-2
当x1=4时，y=
×42-
×4=
；
当x1=-2时，y=
×（-2）2-
×（-2）=
∴M1（4，
），M2（-2，
）
②当M在x轴下方时，不存在，设点M（x，
x2-
x）
S△AMF：S△OAB=[-
×4×（
x2-
x）]：[
×2×4]=16：3
得x2-2x+8=0，b2-4ac＜0 无解
综上所述，存在点的坐标为M1（4，
），M2（-2，
）。
）；（2）∵抛物线过原点O（0，0），
设抛物线解析式为y=ax2+bx
把A（2，0），C′（3，
）代入，得
解得a=
，b=-
∴抛物线解析式为y=
x2-
x；（3）∵∠ABF=90°，∠BAF=60°，
∴∠AFB=30°
又AB=2
∴AF=4
∴OF=2
∴F（-2，0）
设直线BF的解析式为y=kx+b
把B（1，
），F（-2，0）带入，得
解得k=
，b=
∴直线BF的解析式为y=
x+
；（4）①当M在x轴上方时，存在M（x，
x2-
x） S△AMF：S△OAB=[
×4×（
x2-
x）]：[
×2×4]=16：3得x2-2x-8=0，
解得x1=4，x2=-2
当x1=4时，y=
×42-
×4=
；当x1=-2时，y=
×（-2）2-
×（-2）=
∴M1（4，
），M2（-2，
） ②当M在x轴下方时，不存在，设点M（x，
x2-
x） S△AMF：S△OAB=[-
×4×（
x2-
x）]：[
×2×4]=16：3得x2-2x+8=0，b2-4ac＜0 无解
综上所述，存在点的坐标为M1（4，
），M2（-2，
）。 
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