Question

已知二次函数y=-x²+（m-2）x+m+1．
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
（2）当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）当m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

Answer 1

分析：（1）先计算方程-x²+（m-2）x+m+1=0的判别式得到△=m²+8，根据非负数的性质有△＞0，然后根据抛物线与x轴的交点问题即可得到结论；
（2）设二次函数的图象与x轴有两个交点坐标为（x₁，0），（x₂，0），根据抛物线与x轴的交点问题得到x₁和x₂为关于x的方程-x²+（m-2）x+m+1=0的两不等实数根，且x₁＜0，x₂＜0，然后利用根与系数的关系得到x₁+x₂=m-2＜0，x₁•x₂=-（m+1）＞0，再求出两个不等式的公共部分即可；
（3）根据二次函数的性质得到-

m-2

2×(-1)

=0，然后解方程即可．

解答：（1）证明：△=（m-2）²-4×（-1）×（m+1）
=m²+8，
∵m²≥0，
∴m²+8＞0，即△＞0，
∴不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；

（2）解：设二次函数的图象与x轴有两个交点坐标为（x₁，0），（x₂，0），则x₁和x₂为关于x的方程-x²+（m-2）x+m+1=0的两不等实数根，且x₁＜0，x₂＜0，
∴x₁+x₂=m-2＜0，x₁•x₂=-（m+1）＞0，
∴m＜-1；
即m＜-1时，这两个交点都在原点的左侧；

（3）根据题意得x=-

m-2

2×(-1)

=0，
解得m=2，
即m=2时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了一元二次方程根与系数的关系和二次函数的性质．