Question

　　(重庆市2003年中考试题)已知抛物线y=-x²+(m-4)x+2m+4与x轴交于A(x₁，0)、B(x₂，0)两点，与y轴交于点c，且x₁＜x₂，x₁+2x₂=0．若点A关于y轴的对称点是点D．

　　(1)求过点C、B、D的抛物线的解析式；

　　(2)若P是(1)中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式．

 

Answer 1

答案：
解析：

分析：根据根与系数的关系可求A、B两点的坐标，进而得C、D两点，从而可求出抛物线的解析式；由同底等高三角形面积相等可得H点坐标，得到直线的解析式． 　　　　　　　　　　　　 ① 解：⑴由题意得　　　　　　　　　　　　② 　　　　　　　　　　　③ 　　 ④ 　　由①、②得把上式代入③并整理，得 　　∴　∵　 　　∴　∴　m＜4.∴　(舍去)． 　　∴　点C的纵坐标为2m+4=8.得A、B、C坐标为A(-4，0)、B(2，0)、C(0，8)．∵　点A与点D关于v轴对称，∴　D(4，0) ． 　　设经过C、B、D三点的抛物线的解析式为 　　将C(0，8)代入上式得8=a(0-2)(0-4).∴　a=1． 　　∴　所求抛物线的解析式为 　　⑵∵　∴　顶点P(3，-1x )． 　　设点H的坐标为，∵　△BCD与△HBD的面积相等，∴　 　　∵　点H只能在x轴的上方，故 　　将代入中，得或(舍去)． 　　∴　H(6，8)，设直线PH的解析式为y=kx+B，则 　　∴　k=3= 　　点评：求二次函数的解析式是本章的重点，也是一个难点．已知抛物线上的三点，求抛物线的解析式，只要把三点的坐标分别代入一般式y=ax2+Bx+c，联立成三元一次方程组解出a、B、c的值，即可求出抛物线的解析式．在求二次函数解析式时，常常由于所给出的条件不同，为了使运算简便，对于二次函数相应地采取不同的形式来表达．一般有以下四种形式：若已知二次函数图象上任意三点的坐标，求二次函数的表达式时，用y=ax2+Bx+c(a≠0)的形式表述较为简便；若已知二次函数图象的顶点坐标(或对称轴，或最大、最小值)时，用y=a(x-h)2+k的形式较为简便；若已知二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为(x1，0)和(x2，0)，求二次函数的解析式时，用y=a(x-x1)(x-x2)的形式较为简便；若已知抛物线上的两点的坐标为(x1，M) sy、(x2，M)，求二次函数的解析式时，用y=a(x-x1)(x-x2)+M的形式较为简便．