Question

17．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 5$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．

解答 解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOC）=30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB•cos∠OBC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BC=4$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．