Question

已知：如图，AC是⊙O的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长。
（1）若∠BAC=2∠BAN，求证：MN是⊙O的切线；
（2）在（1）成立的条件下，当点E是的中点时，在AN上截取AD=AB，连结BD、BE、DE。
求证：△BED是等边三角形。

Answer 1

证明：（1）连接OB， 因为AC是⊙O的直径，AB是弦，且等于半径长， 所以OA=OB=AB， 所以△AOB为等边三角形， 所以∠OAB=60°， 因为∠BAC=2∠BAN=60°， 所以∠BAN=30°， 所以∠CAN=∠BAC+∠BAN=90°， 所以AC⊥MN，且AC为直径， 所以MN是⊙O的切线； （2）连接AE、OE， 由E是的中点，可得∠BAE=∠ABE=15°， 易证△ABE≌△ADE， 所以BE=DE，∠EDA=15°， 可证得∠BDE=60°， 所以△BDE是等边三角形。