Question

如图，抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标．

（2）在抛物线上是否存在点P，使△CDP的面积为，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）点E是x轴上一点，在抛物线上是否存在点P，使以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

如图，抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标．

（2）在抛物线上是否存在点P，使△CDP的面积为，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）点E是x轴上一点，在抛物线上是否存在点P，使以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(4，0)两点

∴

解得

∴抛物线的解析式为

∴抛物线的对称轴为直线

∵抛物线与y轴交于点C

∴点C的坐标为（0,2）

又∵CD∥x轴

∴点D的坐标为（3,2）

（2）过点P做PM⊥CD于点M

则S_△CDP=,点M的纵坐标为2

∵点C的坐标为（0,2）,点D的坐标为（3,2）

∴CD=3

又∵S_△CDP=

∴PM=3…

又∵点M的纵坐标为2

∴点P的纵坐标为5或-1

当点P的纵坐标为5时

则

此方程无解

当点P的纵坐标为-1时

则

解得

∴点P的坐标为（，-1），（，-1）

（3）点P的坐标为（，-2），（，-2），（0,2）