Question

（本题12分）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B的横坐标恰好是方程的解，点C的纵坐标恰好是方程的解，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，连PA、PB，D为AC的中点.

1）求直线BC的解析式；

2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？

3）如图2，若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不变，请说明理由并求其值.

Answer 1

（1）直线BC的解析式为y=-x+2；

（2）当t=2秒，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等；

（3）当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和不会发生改变， 为180°．理由见解析；

【解析】

试题分析：（1）解方程可求出A（-2，0），B（2，0），C（0，2），再设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C两点的坐标代入，用待定系数法即可求出直线BC的解析式；

（2）当t=2秒，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．为此，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，根据等腰直角三角形及角平分线的性质，利用SAS证明△PCD≌△BOD，则DP=DB，∠PDC=∠BDO，进而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；

（3）在QA上截取QS=QP，连接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等边三角形，进而得出△APS≌△BPQ，从而得出∠APQ+∠ABQ=60°+∠APQ+∠PAS=180°得出答案．

试题解析：（1）解方程x2-4=0得，x1=-2，x2=2，所以A（-2，0）、B（2，0），

解方程x2-4x+4=0得x1=x2=2，所以C（0，2），

设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C两点的坐标代入，

得，解得，

∴直线BC的解析式为y=-x+2；

（2）当t=2秒，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．理由如下：

如图1，连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，

∵A（-2，0），C（0，2），

∴△OAC是等腰直角三角形，

∵D为AC的中点，

∴OD平分∠AOC，OD=DC=AC，

∴DM=DN=OM=ON=m．

在△PCD与△BOD中，

，

∴△PCD≌△BOD （SAS），

∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，

∴∠BDP=∠ODC=90°，

即DP⊥DB；

（3）当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和不会发生改变．理由如下：

如图2，在QA上截取QS=QP，连接PS，

∵∠PQA=60°，

∴△QSP是等边三角形，

∴PS=PQ，∠SPQ=60°，

∵PO是AB的垂直平分线，

∴PA=PB，而PA=AB，

∴PA=PB=AB，

∴∠APB=∠ABP=60°，

∴∠APS=∠BPQ，

∴△APS≌△BPQ（SAS），

∴∠PAS=∠PBQ，

∴∠APQ+∠ABQ

=∠APQ+（∠ABP+∠PBQ）

=60°+（∠APQ+∠PBQ）

=60°+（∠APQ+∠PAS）=60°+120°=180°；

考点：1、待定系数法；2、全等三角形的判定与性质；3、等腰直角三角形的判定与性质；4、等边三角形的性质与判定

考点分析： 考点1：一元二次方程 定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：
它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中 ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 试题属性

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