Question

【题目】在平面直角坐标系中，的半径为，点与圆心不重合，给出如下定义：若在上存在一点，使，则称点为的特征点．

（1）当的半径为1时，如图1．

①在点，，中，的特征点是__________．

②点在直线上，若点为的特征点，求的取值范围．

（2）如图2，的圆心在轴上，半径为2，点，．若线段上的所有点都是的特征点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①，；②；（2）．

【解析】

（1）①根据⊙O的特征点的定义，如果0＜OP≤2r（r为⊙O的半径），则点P是⊙O的特征点；
②分两种情形考虑问题：如图1中，当b＞0时，设直线y=-x+b与1为半径的⊙O相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F．解直角三角形求出OE即可，当b＜0时，根据对称性可得结论；
（2）如图中，取点K（2，0），连接BK．由题意满足条件点C到点B的距离小于等于4且点C到点A的距离小于等于4（点A除外），由此即可解决问题；

（1）①由题意当0＜OP≤2r（r为⊙O的半径），则点P是⊙O的特征点，
∵，

=2，

，
∴，是特征点，
故答案为：，；

②当时，设直线与以1为半径的相切于点，与轴交于点，与轴交于点，

∴，，，

，

∴，

∵，

∴，

∴，

当时，由对称性可知：，

∴的取值范围是；

（2）如图中，取点K（2，0），连接BK，

∵点A、B、K的坐标分别为(-2，0)，(0，2)，（2，0），

∴OA=2，OB=2，OK=2，

∴AB=，AK=AO+OK=4，

，

∴，

∴△ABK是边长为4的等边三角形，
∵线段AB上的所有点都是⊙C的特征点，
∴点C到点B的距离小于等于4且点C到点A的距离小于等于4（点A除外），
∴点C在线段AK上（点A除外），
∴满足条件的m的值为．