Question

【题目】已知抛物线G：有最低点。

（1）求二次函数的最小值（用含m的式子表示）；

（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1。经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图像交于点P，结合图像，求点P的纵坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）二次函数的最小值是；（2）；（3）－4－3.

【解析】

（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．

（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，-m-3），即x=m+1，y=-m-3，x+y=-2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．

（3）求出抛物线恒过点B（2，-4），函数H图象恒过点A（2，-3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．

解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，

∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.

（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,

∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3,

∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3）,

∴x=m+1，y=-m-3,

∴x+y=m+1-m-3=-2.

即x+y=-2，变形得y=-x-2.

∵m＞0，m=x-1.

∴x-1＞0,

∴x＞1,

∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x＞1）.

（3）如图，函数H：y=-x-2（x＞1）图象为射线,

x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4,

∴函数H的图象恒过点B（2，-4）,

∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,

x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3.

∴抛物线G恒过点A（2，-3）,

由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA,

∴点P纵坐标的取值范围为-4＜yP＜-3.