Question

如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．

（1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）：
① 分别求出直线l与双曲线的解析式；（3分）
② 若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？（4分）
（2）假设点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值.（2分）

Answer 1

（1）①反比例函数的解析式为，直线AB的解析式为y=-x+5；
②当时，直线l与反比例函数有且只有一个交点；
（2）

试题分析：（1）、①把点D或点E的坐标代入双曲线（a≠0，x＞0）中，易求反比例函数的解析式为，设直线AB的解析式为y=ax+b，再把点D或点E的坐标代入，可得一个二元一次方程组，求得直线AB的解析式为y = -x+5；
② 依题意可设向下平移m（m＞0）个单位后解析式为，直线l与双曲线有且只有一个交点即(整理得)的△=0即△=，
解得：，（舍去），即当时，直线l与反比例函数有且只有一个交点；
(2)、过点D作DF⊥OA于F(如下图)，则△ADF∽△ABO得，即解得：DF=，AF=；所以OF=OA-AF=a-=，所以点D的坐标为（，），又因为点D在双曲线（a≠0，x＞0）上，所以×=a，所以.

试题解析：(1) ①易求反比例函数的解析式为，
直线AB的解析式为y = -x+5；（5分）
② 依题意可设向下平移m（m＞0）个单位后解析式为，  
由，得， 
∵ 平移后直线l与反比例函数有且只有一个交点，∴△=，
∴ ，（舍去）.
即当时，直线l与反比例函数有且只有一个交点；(5分)
(2) .(2分)