Question

已知，如图，ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1），解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
（2）设四边形ANPM的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由
（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由

Answer 1

解：（1）若四边形AQDM是平行四边形，则PA=PD，反之也成立，
∵AD=3，PA=3t，∴PD=3－3t。
∴3t=3－3t，解得。
∴当时，四边形AQDM是平行四边形。
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。∴∠MAP=∠QDP。
又∵∠MPA=∠QPD，∴△MAP∽△QDP。
∴。∴，解得。
∵AB=CD=1，∴。
∵MN⊥BC，∠B=45°，∴。∴。
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。
又∵MN⊥BC，∴MN⊥AD。
∴
。
∴y与t之间的函数关系式为（0＜t＜1）。
（3）存在。
假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半， 则
，即，解得（舍去）。
∴当时，四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半。
（4）存在。
假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，
设NP与AC相交于点E，则AE：EC=或AE：EC=。
当AE：EC=时，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴△APE∽△CNE。
∴。∴，解得。
当AE：EC＝时，
同理可得：，即，解得：，
∴当或时，NP与AC的交点把线段AC分成的两部分。

试题分析：（1）根据若四边形AQDM是平行四边形，则PA=PD，列式即可得解。
（2）应用相似三角形和锐角三角函数的知识求出，从而应用转换思想，由
即可求得y与t之间的函数关系式。
（3）假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半， 则，解出即可。
（4）假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分， 设NP与AC相交于点E，则分AE：EC=和AE：EC=两种情况讨论即可。