Question

如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，过点C作CD⊥AB，垂足为E，并交⊙O于D．
（1）求证：

PC

CE

=

PB

BE

；
（2）若点E是线段PA的中点，求∠P的度数．

Answer 1

分析：（1）此题要通过两步相似来求解：连接AC、BC，易证得△ACE∽△BCE，则AC：BC=CE：BE，因此只需证得AC：BC=PC：PB即可，那么证明这些比例线段所在的三角形相似即可，即证△PCB∽△PAC；
（2）若E是线段PA的中点，那么CE垂直平分AP，则AC=CP，∠A=∠P，由弦切角定理知∠PCB=∠A，则∠ABC=2∠P=2∠A，即可在Rt△ABC中，求得∠A即∠P的度数．

解答：（1）证明：连接AC、BC，则∠ACB=90°
∵∠EAC=∠BCE=90°-∠ACE，
∴Rt△AEC∽Rt△CEB，
∴

AC

BC

=

CE

BE

∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCB=∠A，又∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴

AC

BC

=

PC

PB

，即

CE

BE

=

PC

PB

，
∴

PC

CE

=

PB

BE

；

（2）解：∵E是AP的中点，且CE⊥AP，
∴AC=PC，∠A=∠P；
∵∠PCB=∠A=∠P，
∴∠ABC=2∠P=2∠A；
在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，即3∠A=90°，
∴∠P=∠A=30°．

点评：此题考查的知识点有：圆周角定理、弦切角定理以及相似三角形的判定和性质；难点在于（1）题，能够通过两步相似来得到与所求相关的比例线段，是解决此题的关键．