Question

如图所示，ABCD是矩形，AH=2，HD=4，DE=2，EC=1，点F是BC上任一点（F与点B、点C不重合），过点F作EH的平行线交AB于点G，设BF为x，四边形HGFE面积为y．写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

Answer 1

考点：矩形的性质,根据实际问题列二次函数关系式

专题：

分析：连接HF，设BF为x，则BF=6-x，根据平行线的性质求得∠DHE=∠GFB，从而求得△HDE∽△FBG，得出

BG

BF

=

DE

HD

，得出即

BG

6-x

=

2

4

，解得BG=3-

1

2

x，AG=

1

2

x，
由关系S_{四边形EFGH}=S_矩形-S_△AGH-S_△GBF-S_△ECF-S_△WDH，即可求出表达式．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AH=2，HD=4，DE=2，EC=1，
∴BC=BF+CF=AH+HD=6，AB=CD=DE+EC=3，
设BF为x，则BF=6-x，
连接HF，
∴∠DHF=∠BFH，
∵GF∥HE，
∴∠EHF=∠GFH，
∴∠DHE=∠GFB，
∴△HDE∽△FBG，
∴

BG

BF

=

DE

HD

，
即

BG

6-x

=

2

4

，解得BG=3-

1

2

x，
∴AG=3-（3-

1

2

x）=

1

2

x，
∴y=S_矩形-S_△AGH-S_△GBF-S_△ECF-S_△WDH=AB•BC-

1

2

AG•AH-

1

2

BG•BF-

1

2

FC•EC-

1

2

DH•DE=6×3-

1

2

×

1

2

x×2-

1

2

×（3-

1

2

x）×（6-x）-

1

2

•x×1-

1

2

×4×2=-

x2

4

+2x+5．
∵y与x的函数关系式为y=-

x2

4

+2x+5．（0＜X＜6）．

点评：本题考查了矩形的性质，平行线的性质三角形相似的判定和性质，用间接的方法求出四边形EFGH的面积是解题的关键．