Question

【题目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO，交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E．

（1）如图1，当O为边AC中点，时，求的值.小明这样想的，过O点作OH∥AB交BC于点H，可证△AOF∽△HOE，于是求出答案，请你直接写出答案 ；

（2）如图2，当O为边AC中点，时，请求出的值,并说明理由；

（3）如图3，当,时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】(1)2;(2) ;(3) .

【解析】

（1）先证明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可．作OH⊥AC，交BC于H，易证：△OEH和△OFA相似，进而证明△ABF∽△HOE，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值；

（2）同（1）的方法得出，代换即可得出结论．

（3）同（1）的方法得出，代换即可得出结论．

（1）证明：∵AD⊥BC，

∴∠DAC+∠C=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠BAF=∠C．

∵OE⊥OB，

∴∠BOA+∠COE=90°，

∵∠BOA+∠ABF=90°，

∴∠ABF=∠COE．

过O作AC垂线交BC于H，则OH∥AB，

∵∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．

∴∠AFB=∠OEC，

∴∠AFO=∠HEO，

而∠BAF=∠C，

∴∠FAO=∠EHO，

∴△OEH∽△OFA，

∴

又∵O为AC的中点，OH∥AB．

∴OH为△ABC的中位线，

∴OH=AB，OA=OC=AC，

而＝2，

∴，

即；

（2）同（1）方法得：，

∵又∵O为AC的中点，OH∥AB．

∴OH为△ABC的中位线，

∴OH=AB，OA=OC=AC，

∵，

∴，

∴．

（3）同（1）方法得：，

∵OH∥AB，

∴，

∵，

∴，

∴

∵，

∴，

∴．