Question

【题目】如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD.

(1)由图1通过观察、猜想可以得到线段AC与线段BC的数量关系为___，位置关系为__；

(2)保持图1中的△ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置(当垂线AD、BE在直线MN的同侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明(第一问中得到的猜想结论可以直接在证明中使用)；

(3)保持图2中的△ABC固定不变,继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有___关系.

Answer 1

【答案】（1）AC=BC，AC⊥BC，；（2）DE=AD+BE，理由见解析；（3）DE=BEAD.

【解析】

（1）根据矩形的性质及勾股定理，即可证得△ADC≌△BEC，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）通过证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系；

（3）通过证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系．

(1)AC=BC，AC⊥BC，

在△ADC与△BEC中, ，

∴△ADC≌△BEC(SAS)，

∴AC=BC，∠DCA=∠ECB.

∵AB=2AD=DE，DC=CE，

∴AD=DC，

∴∠DCA=45°，

∴∠ECB=45°，

∴∠ACB=180°∠DCA∠ECB=90°.

∴AC⊥BC，

故答案为：AC=BC，AC⊥BC；

(2)DE=AD+BE.理由如下：

∵∠ACD=∠CBE=90°∠BCE，

在△ACD与△CBE中, ，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

∴AD=CE，DC=EB.

∴DC+CE=BE+AD，

即DE=AD+BE.

(3)DE=BEAD.理由如下：

∵∠ACD=∠CBE=90°∠BCE，

在△ACD与△CBE中,

，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

∴AD=CE，DC=EB.

∴DCCE=BEAD，

即DE=BEAD，

故答案为：DE=BEAD.