Question

【题目】如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒2的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为()，连接．

（1）若，求的值；

（2）若与相似，求的值；

（3）当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）或；（3） 当时，取最小值，．

【解析】

（1）由已知条件得出AB=10，BC＝5，由题意知BM=2t，CN＝t，BN＝5t，由BM=BN得出方程2t＝5t，解方程即可；

（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；

②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；

（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t；四边形ACNM的面积y=△ABC的面积-△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．

解：（1）在中，∵，，，

∴，．

由题意知，，

∴．

由，得．

解得；

（2）①当∽时，

得，即

解得；

②当∽时，

得，即

解得

∴当或时，与相似；

（3）如图，过点作于点，则．

设四边形的面积为．

由题意，得

∵

∴当时，取最小值，.