Question

17．如图，在?ABCD中，点E是AD边的中点，点M在AB边上，DM⊥AB于M，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．求证：AD=MN．

Answer 1

分析 由在?ABCD中，点E是AD边的中点，即可证得△DNE≌△AME，则可得DN=AM，又由DN∥AM，即可得四边形AMDN是平行四边形，再结合已知条件DM⊥AB于M，可证明AMDN是矩形，由矩形的性质即可证明AD=MN．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
即DN∥AM，
∴∠DNE=∠AME，
∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE，
∵在△DNE和△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNE=∠AME}\\{∠DEN=∠AEM}\\{DE=AE}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△AME（AAS），
∴DN=AM，
∴四边形AMDN是平行四边形，
∵DM⊥AB于M，
∴四边形AMDN是矩形，
∴AD=MN．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．