Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的 速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．

（1）当t= 时，PQ∥AB

（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？

（3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将△PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)2.4;(2)1;(3)见解析.

【解析】

（1）由PQ∥AB得出△PQC∽△ABC，从而得到比例式PC：AC=CQ：BC，建立关于t的方程，解方程求出t的值即可；

（2）由三角形面积公式可建立关于t的方程，解方程求出t的值即可；
（3）延长QE交AC于点D，若PE⊥AB，则QD∥AB，所以可得△CQD∽△CBA，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出DE=0.5t，易证△ABC∽△DPE，再由相似三角形的性质可得,把已知数据代入即可求出t的值．

解：(1) ∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，

∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，

当PQ∥AB时，∴△PQC∽△ABC，
∴PC：AC=CQ：BC，
∴(6-t)：6=2t：8

∴t=2.4

∴当t=2.4时，PQ∥AB

（2）∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，

∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，
∴S△CPQ= CPCQ=＝5，

∴t2-6t+5=0
解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去）
∴当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2；
（3）能垂直，理由如下：
延长QE交AC于点D，

∵将△PQC翻折，得到△EPQ，
∴△QCP≌△QEP，
∴∠C=∠QEP=90°，
若PE⊥AB，则QD∥AB，
∴△CQD∽△CBA，
∴，
∴，

∴QD=2.5t，
∵QC=QE=2t
∴DE=0.5t
∵∠A=∠EDP，∠C=∠DEP=90°，

∴△ABC∽△DPE，
∴
∴，
解得：，
综上可知：当t=时，PE⊥AB．