Question

【题目】如图，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，直线y=-x+b分别交OA、AB于点C、D，且ΔBOD的面积是4.

(1)求直线AO的解析式；

(2)求直线CD的解析式；

(3)若点M是x轴上的点，且使得点M到点A和点C的距离之和最小，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y=2x； （2）；（3）点M的坐标为（，0）.

【解析】

（1）先求出点A的坐标，然后设直线AO的解析式为y=kx，用待定系数法求解即可；

（2）由面积法求出BD的长，从而求出点D的坐标，然后带入y=-x+b求解即可；

（3）先求出点C的坐标，作点C关于x轴的对称点E，此时M到A、C的距离之和最小，求出直线AE的解析式，即可求出点M的坐标.

（1）OB=4，AB=8，∠ABO=90°，

∴A点坐标为（4，8）,

设直线AO的解析式为y=kx，则4k=8 ,

解得k=2，即直线AO的解析式为y=2x；

（2）OB=4，∠ABO=90°，=4，

∴DB=2，∴D点的坐标为（4，2）,

把D（4，2）代入得：=6,

∴直线CD的解析式为；

（3）由直线与直线组成方程组为,

解得：，

∴点C的坐标为（2，4）

如图，设点M使得MC+MA最小，作点C关于x轴的对称点E，可得点E的坐标为(2，-4)，连结MC、ME、AE，可知MC=ME，所以M到A、C的距离之和MA+MC=MA+ME，又MA+ME大于等于AE，所以当MA+ME=AE时，M到A、C的距离之和最小，此时A、M、E成一条直线，M点是直线AE与在x轴的交点.

所以设直线AE的解析式为，把A（4，8）和E（2，-4）代入得：

，

解得： ,

所以直线AE的解析式为，令得,

所以点M的坐标为（，0）.