Question

如图，ABCD是矩形纸片，翻折CB、AD，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．
（1）试判断四边形AECG是什么四边形，并说明理由；
（2）若四边形AECG是菱形，AB=4cm，求线段BC的长．

Answer 1

分析：（1）因为对折，所以∠GAH=

1

2

∠DAC，∠ECF=

1

2

∠BCA，又∠GAH=∠ECF，可得AG∥CE，即可得出四边形AECG是平行四边形；
（2）由菱形的定义知可知F，H两点重合，可得出AC=2BC，由此可计算边BC的长．

解答：解：（1）由题意，得∠GAH=

1

2

∠DAC，∠ECF=

1

2

∠BCA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠GAH=∠ECF，
∴AG∥CE，
又∵AE∥CG
∴四边形AECG是平行四边形；

（2）∵四边形AECG是菱形，
∴F、H重合，AC=2CF，
∵CF=BC，
∴AC=2BC，在Rt△ABC中，设BC=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中AC²=AB²+BC²，
即（2x）²=4²+x²，
解得x=

4 3

3

（x=-

4 3

3

舍去），
即线段BC的长为

4 3

3

cm．

点评：此题主要考查了翻折变换的性质，是一道比较综合的题，难度适中，包含的知识点较多，关键灵活运用矩形的性质．