题目内容

(2009•郑州模拟)如图,ABCD是矩形纸片,翻折∠B、∠D,使BC、AD恰好落在AC上.设F、H分别是B、D落在AC上的两点,E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点.
(1)求证:四边形AECG是平行四边形:
(2)若AB=8cm,BC=6cm,求线段EF的长.
分析:(1)由四边形ABCD是矩形,可得AD∥BC,AB∥CD,又由平行线的性质,可得∠DAC=∠BCA,然后根据折叠的性质可得:∠1=
1
2
∠DAC,∠2=
1
2
∠BCA,即可证得AG∥CE,根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形,即可证得四边形AECG是平行四边形;
(2)先在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC=10,则AF=4,再设EF=BE=x,则AE=8-x,然后在Rt△AFE中,由勾股定理,得出方程即x2+42=(8-x)2,解方程即可求出EF的长.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA.
由折叠可知∠1=
1
2
∠DAC
,∠2=
1
2
∠BCA

∴∠1=∠2,
∴AG∥CE,
又AE∥CG,
∴四边形AECG是平行四边形;

(2)解:在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,
由勾股定理可得,AC=
62+82
=10,
又CF=BC,则AF=AC-CF=4.
设EF=BE=x,则AE=8-x,
在Rt△AFE中,由勾股定理,得EF2+AF2=AE2
即x2+42=(8-x)2,解得x=3,
即EF=3cm.
点评:此题考查了折叠的性质,矩形的性质,平行四边形的判定,勾股定理等知识.此题难度不大,注意掌握折叠前后图形的对应关系以及数形结合思想的应用.
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