Question

如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．

（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；

（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；

（3）若过A，D，C三点的圆的半径为3，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D， B为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

见解析

解析:（1）作出圆形

（2）证明：连结OC

∵∠A=∠B=30°

∴∠ACB =120°

∵CD⊥AC

∴∠ACD = 90°

∴∠BCD = 30°, ∠ODC= 60°

∵OC=OD

∴∠OCD = 60°

∴∠OCB= 90°

∴CD⊥AC

∴ BC是⊙O的切线）

(3) 当∠DB = 90°时

△BD∽△BCO

∵tan30°=

∴ 

当∠DB= 90°时

△BD∽△BCO

∵sin30°=

∴