题目内容
如图①,已知在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,E为AB上任意一点,以CE为斜边作等腰直角三角形CDE,连接AD,那么AD∥BC吗?(直接回答,不用过程)如图②,若三角形ABC为任意等腰三角形AB=AC,E为AB上任意一点,△ABC∽△DEC.连接AD,那么AD∥BC吗?若平行,请证明.若不平行,说明理由.
分析:(1)要证AD∥BC,只需证∠DAC=∠ACB,由于△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,所以∠DCE=∠ACB,所以∠DCA=∠ECB,又因为
=
,
=
,∴
=
,所以△ADC∽△DCE,所以∠DAC=∠B,所以∠DAC=∠ACB.
(2)要证AD∥BC,只需证∠DAC=∠ACB,同(1)的证明思路类似,由于△ABC∽△DEC,∴
=
,∠DCE=∠ACB,所以∠DCA=∠ECB,所以△ADC∽△DCB,所以∠DAC=∠B,所以∠DAC=∠ACB,所以AD∥BC.
DC |
EC |
1 | ||
|
AC |
BC |
1 | ||
|
DC |
EC |
AC |
BC |
(2)要证AD∥BC,只需证∠DAC=∠ACB,同(1)的证明思路类似,由于△ABC∽△DEC,∴
DC |
EC |
AC |
BC |
解答:解:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠ACB=45°,
=
,
∵△DCE是等腰直角三角形,
∴∠DEC=∠DCE=45°,
=
,
∴∠DCE=∠ACB,
∴∠DCA=∠ECB,
∴
=
,
∴△ADC∽△BEC,
∴∠DAC=∠B,
∴∠DAC=∠ACB,
∴AD∥BC.
(2)平行.
∵△ABC∽△DEC,
∴
=
,∠DCE=∠ACB,
∴∠DCA=∠ECB,
∴△ADC∽△BEC,
∴∠DAC=∠B=∠ACB,
∴AD∥BC.
∴∠B=∠ACB=45°,
AC |
BC |
1 | ||
|
∵△DCE是等腰直角三角形,
∴∠DEC=∠DCE=45°,
DC |
EC |
1 | ||
|
∴∠DCE=∠ACB,
∴∠DCA=∠ECB,
∴
DC |
EC |
AC |
BC |
∴△ADC∽△BEC,
∴∠DAC=∠B,
∴∠DAC=∠ACB,
∴AD∥BC.
(2)平行.
∵△ABC∽△DEC,
∴
DC |
EC |
AC |
BC |
∴∠DCA=∠ECB,
∴△ADC∽△BEC,
∴∠DAC=∠B=∠ACB,
∴AD∥BC.
点评:本题结合等腰三角形的性质,考查三角形的相似,利用相似三角形的性质,证得角相等,从而证得两直线平行,一般此类题目包括多个问题,涉及图形也不同,但题目的证明思路常常具有共性,做题时应注意体会.
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